tenz_alg.pdf -- краткое руководство к действию по тензорной алгебре в примерах и задачах. (Тензоры и операции с ними. Симметрические и кососимметрические тензоры. Поднятие и опускание индексов. Комплексное линейное пространство и комплексификация вещественного векторного пространства. Комплексификация вещественных тензоров. Вещественно адаптированный базис и А-базис.) Данное руководство содержит большое количество примеров и учебных задач, взятых из кандидатских диссертаций последних 15 лет.
tenz_analiz12_13.pdf -- краткое руководство по тензорному анализу (формализму Кошуля). Содержит определение и примеры гладких многообразий. Тензорные поля вводятся как сечения соответствующих векторных расслоений и как полилинейные отображения. Оператор Кошуля и ковариантное дифференцирование тензорных полей вводится с помощью параллельного переноса тензоров. Данное руководство содержит примеры и задачи, которые помогут читателю освоить действия с оператором Кошуля как в инвариантном, так и в индексном (координатном) виде. В приложении введено понятие секционных кривизн риманова многообразия, приведен вывод критерия постоянства секционной кривизны риманова многообразия.
Mnogom_diff_geom.pdf - первая часть краткого руководства к действию по многомерной диф.геометрии. Является логическим продолжением краткого руководства по тензорному анализу. Первая глава завершает изложение тензорного анализа на многообразиях, в частности, содержит примеры вычислений с производной Ли и переход от производной Ли к ковариантной производной. Содержит общую теорию главных расслоений (включая их структурные уравнения и три различных подхода введения связности в главных расслоениях). В качестве примера главного расслоения рассмотрено главное расслоение вещественных реперов, построена форма смещения, форма связности, выведены структурные уравнения связности. Дано альтернативное определение тензоров кручения и кривизны связности. Приведены примеры использования основной теоремы тензорного анализа и обобщенной леммы Картана.
Mnogom_diff_geom2.pdf - вторая часть краткого руководства к действию по многомерной дифференциальной геметрии. Первая глава полностью повторяет вторую главу из краткого руководства по тензорной алгебре. Во второй главе вводится понятие почти комплексного многообразия и строится его присоединенная G-структура. Подробно рассмотрено понятие почти эрмитова многообразия и его присоединенной G-структуры. Приведена классификация Грея-Хервеллы почти эрмитовых многообразий и подробно расписана альтернативный подход к классификации почти эрмитовых многообразий, предложенный В.Ф. Кириченко. Полностью построены виртуальный и структурный тензоры почти эрмитова многообразия, вычислены их компоненты на пространстве присоединенной G-структуры. Приемы вычислений на пространстве присоединенной G-структуры приведены на примере многообразий Вайсмана-Грея. Подробно рассмотрен переход от тождеств, записанных в инвариантном исчислении Кошуля, к равенствам, записанным на пространстве присоединенной G-структуры. Выведена полная группа структурных уравнений многообразий Вайсмана-Грея ("в минусах"). Вычислены компоненты в A-репере для тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярная кривизна. Рассмотрены конформно инвариантные классы многообразий Вайсмана-Грея, выведены их критерии. Построен метод отображения присоединенных G-структур при конформных преобразованиях почти эрмитовых многообразий. В качестве примера применения этого метода были рассмотрены шестимерные многообразия Вайсмана-Грея.
Приложения содержат вывод критерия постоянства голоморфной секционной кривизны для почти эрмитовых многообразий и для многообразий Вайсмана-Грея на пространстве присоединенной G-структуры.
Материалы для выпускных работ бакалавров и магистерских диссертаций
Данные методические материалы написаны в основном по монографии В.Ф.Кириченко "Дифференциально-геометрические структуры", Тверь, 2001 и работам учеников школы В.Ф. Кириченко.
DIFFS1.ps DIFFS1.pdf - Анализ на многообразиях (часть 1)
DIFFS2.ps DIFFS2.pdf - Анализ на многообразиях (часть 2)
DIFFS3.ps DIFFS3.pdf - Элементы теории групп Ли
DIFFS4.ps DIFFS4.pdf - Главные расслоения. Общая теория
DIFFS5.ps -Главное расслоение (вещественных) реперов. Структурные уравнения. Основная теорема тензорного анализа.
DIFFS6.ps - Связности в главном расслоении реперов. Тензоры кривизны и кручения связности. Ковариантный дифференциал тензора. Оператор Кошуля. (часть 1)
DIFFS7.ps - Связности в главном расслоении реперов. Тензор аффинной деформации. Геодезические и базисные векторные поля. (часть 2)
DIFFS8.ps - Римановы структуры. Тензор Римана-Кристоффеля, тензор Риччи,скалярная кривизна. Преобразования этих тензоров при конформных преобразованиях римановых многообразий.
DIFFS9.ps - Почти комплексные многообразия. Комплексификация модуля. Комплексные структуры в линейных пространствах. А- и RA-реперы. Почти комплексные многообразия и их структурные уравнения. Тензор Нейенхейса. Тензор Нейенхейса как тензор кручения почти комплексной связности.
DIFFS10.ps - Комплексные многообразия. Почти комплексная структура на овеществлении комплексного многообразия.
DIFFS11.ps - Почти эрмитовы многообразия (часть 1). Эрмитова структура на комплексном линейном пространстве. Почти эрмитовы структуры. Первая группа структурных уравнений почти эрмитовой структуры. Виртуальный и структурный тензоры. Основные классы почти эрмитовых структур.
DIFFS12.ps - Почти эрмитовы многообразия (часть 2). Классификация Грея-Хервеллы в инвариантном виде и на пространстве присоединенной G-структуры. Подробный вывод второй группы структурных уравнений произвольного почти эрмитова многообразия.
DIFFS13.ps - Почти эрмитовы многообразия (часть 3). Вычисление компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны на пространстве присоединенной G-структуры. Отображение присоединенной G-структуры почти эрмитова многообразия на присоединенную G-структуру конформно преобразованного почти эрмитова многообразия.
